前言

首先我想先感謝我的老師以及我的隊友，沒有他們的辛勤付出，這次數學建模比賽論文估計也寫不出來????另外因為剛剛學習兩個月，再加上比賽從開始到結束只有三天時間，所以時間實在是非常緊，所以論文寫的也很倉促，即使比賽后又修改了一些，肯定還是不可避免的有些錯誤，還請各位大佬指正??為提升閱讀體驗，代碼部分已去掉，若有需要文中使用的python和matlab代碼，請訪問我的稀土掘金社區文章：https://juejin.cn/post/7093562006258581534
另外請注意目前分享出來的并不是最終版本，經團隊商討，我們很有可能會在修正此文的基礎上添加部分話題并發表論文，所以一切結論請以最終版本為準。未經許可請勿轉載。

問題

新冠病毒（SARS-CoV-2）被檢測出來后，在傳播的過程中，發生了包括Alpha、Delta和Omicron在內的多個變種，它們陸續成為全球傳播的主要變種病毒。 以英國疫情為例，英國依次經歷了分別以原始病毒（SARS-CoV-2）、Alpha、Delta和Omicron變種病毒為主的疫情階段。為了更好地預判出原始病毒和變種病毒的傳播情況，根據其在不同的氣候、溫度、地理位置等不同的條件下，結合實際，建立數學模型研究下列問題：

根據英國日新增的病例數據，討論劃分出原始病毒和變種病毒的傳播階段，結合感染病毒人數，建立出英國的原始型、Alpha和Delta三種病毒各自的傳播速率及比較不同病毒的傳染力和持續時長的數學模型。
根據天氣數據，比較多種天氣因素，分析對英國379個地區的原始病毒、Alpha和Delta三種病毒傳播的影響。

假設與符號說明
假設

1. 假設感染人數數據連續
2. 假設病毒突變時間不重合
3. 假設兩毒株間有“競爭關系”
4. 英國人口數量較為穩定，且病毒感染人數會有一個最大值
5. 環境條件對種群的增長有阻滯作用，并隨種群密度增加而按比例增加
6. 人類免疫系統對不同毒株間的特異性很敏感
7. 假設后期alpha型病毒感染人數為上限
8. 假設只有陽性、陰性、死亡以及痊愈四種情況，并且陽性均住院
9. 假設原始型的死亡人數為0，全部確診病例均去醫院且疫苗接種率為0

符號說明


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問題一
解決思路

我們認為解決本問題的核心是要依據短期數據預測中期數據，并且要合理推測出不同毒株主要的傳播時間段。

首先我們將病毒的傳播看作為一個種群的繁衍。通過這樣一個抽象化的過程，以及考慮到英國的總人口是有限的，所以我們想到了“S”型模型，所謂“S”型模型也就是logistics模型。

然而logistics模型通常是用來進行中長期數據的預測，而目前整理數據后發現只有delta型毒株有較為完整的感染人數數據。而alpha型毒株和原始型毒株情況則分別為只有后期數據以及無具體數據。所以根據假設3，我們應當先盡量完美的擬合，找到數學特征，再與已知中期數據的毒株感染人數進行對比，從而確認時間節點。整體流程如下流程圖：



通過查閱和整理英國新冠病毒每周基因測序的抽測結果[1]分別得到兩種毒株不同時期的感染人數數據（見附件）其中，alpha毒株以及delta毒株感染人數散點圖分別如下：



由散點圖可觀察到兩數據有一定的線性關系。并且alpha感染人數屬于短期數據，而delta感染人數數據屬于中期數據。通過觀察alpha毒株數據形如反比例函數且又呈線性關系，因此建立數學模型：



將（1-1）反比例函數式帶入一次函數中：



通過SPSS進行回歸，得到結果如下：



效果圖如下：



在回歸結果中，調整R2=0.861，較為接近1，說明擬合優度良好。F檢驗中，F并不大于臨界值，對應概率P值小于0.001，回歸方程整體并不顯著，但是通過擬合圖仍能看出一定趨勢。系數β0、β1對應的t檢驗概率P值均小于0.001，說明該系數比較顯著。

根據delta感染人數散點圖可以看出，前期感染人數為0，而后期數據則在>1.5×106處感染人數增長緩慢或停止，說明我們得到的是中期數據，因此我們依據假設4和假設5建立logistics模型。首先建立微分方程：



通過SPSS進行回歸，得到結果如下：



效果圖如下：



在回歸結果中，調整R2=0.931，接近1，說明擬合優度很好。F檢驗中 F值較大，對應概率P值小于0.001，回歸方程整體較為顯著。 N對應的t檢驗概率P值均小于0.001，說明該系數比較顯著。雖然常量對應的t檢驗概率P值為0.006，但仍小于0.05，所以我們仍認為常量仍具有較好的統計性差異。

由alpha感染人數圖可以看出在x=10以前感染人數出現驟減，而結合delta感染人數圖可以看到在x=10時正是delta感染人數驟增的時候，所以我們認為delta的感染人數增加對alpha感染人數增加有抑制作用，驗證了假設3的合理。因此我們推測delta的開始傳播也在x=10之前。而結合新冠病毒有一定的潛伏期無癥狀這一點來看，我們推測很有可能是在x=3，也就是2021年6月3日開始傳播。我們有通過查詢新聞獲得了發現delta病例的第一天，為2021年6月15日，這之間的時間間隔與新冠的潛伏期十分接近。

alpha型的中期數據預測

根據上文得到的經驗，我們根據假設7利用logistics模型以及6月之前的總感染人數以及alpha發現時間進行預測。

通過SPSS進行回歸，得到結果如下：



在回歸結果中，調整R2=0.848，說明擬合優度較好。F檢驗中 F值較大，對應概率P值小于0.001，回歸方程整體較為顯著。 N的系數以及常量對應的t檢驗概率P值均小于0.001，說明均比較顯著。

時間段的劃分以及原始型的中期數據預測

接著我們嘗試對不同毒株開始傳播時間進行預測。首先我們先根據實際alpha第一例病例發現時間劃分出了原始型以及alpha型時期實際數據，如下圖。



我們看到原始型時期在x=20～30之間有一段處于上升狀態，而又考慮到病毒有一定的潛伏期且期間無癥狀、發現需要時間以及當時英國政府可能因為當時確診病例較少而放松警惕，所以我們決定將推測時間向前15天。

接下來我們又對原始型數據進行了同樣的預測，得到結果如下：



在回歸結果中，調整R2=0.859，說明擬合優度較好。F檢驗中 F并不大于，可能受樣本量限制，但影響并不大，對應概率P值小于0.001，回歸方程整體較為顯著。N的系數對應的t檢驗概率P值均小于0.001，較為顯著，而常量檢驗P值為0.055，不太顯著。

擬合效果如下圖：



傳播速率

通過閱讀文獻，我們發現logistics模型的導數具有對稱性，也就是瞬時增長量會在一點達到最大值，而這一點則正好是k/2。[2]我們已知logistics模型的上限，可以直接求出。?
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傳染力

通過了解，我們將用流行病學上的基本傳染數代表傳染力。通過查詢文獻[3]，我們獲得以下公式：



為了簡化模型方便我們計算，我們將時間依賴性傳播率代替為最大瞬時增長量與當時的人口總量之比，并根據假設8得到下式：



在此模型的基礎上，我們有考慮了易感情況。最終考慮因素思維導圖如下：



根據基本生物學知識、生活經驗以及簡單的生物信息學知識，易感程度越高應當使病毒的傳染力增加，所以需要將原本R0乘易感程度，得到下式：



通過檢索遺傳學文獻[4]，我們利用python計算歐洲人與世界平均多基因風險評分之比，結果為0.98667，小于1，說明易感風險略降低。 根據查到的數據[5]可知易感年齡占比為37% 接下來經過計算即可算出感染力。

問題二

解決思路

根據題目所給的附件我們有了英國各地區有關溫度、露點、濕度等氣候數據。我們的目標是利用所得到的數據，去比較分析溫度、露點、濕度等氣候因素對三種不同病毒傳播的影響。對于上述資料與題目。我們通過使用典型相關性分析，將具有顯著統計意義的因素留下，剩下因素忽略不計。

以牛津的數據為例

我們將6種天氣因素（氣溫、露點、濕度、風速、氣壓、降水）以及牛津每日新增陽性人數利用SPSS進行典型相關性分析，并通過對比其皮爾遜系數以及其P值來確定兩者之間是否相關以及相關程度。

天氣與每日新增陽性人數相關



整體天氣因素與每日新增陽性人數相關性為0.382，接近于0.4，說明接近于中等相關的水平，而其P值趨近于0，說明統計意義顯著。最終得出結論天氣與每日新增陽性人數相關

溫度、濕度對每日新增陽性人數影響最大

我們通過python進行數據可視化，方便我們分析。



每日新增陽性人數我們可以初步看出氣溫、露點、濕度三個溫度對每日新增陽性人數影響最大且三因素P值均小于0.01，說明三因素具有統計顯著性。然而當我們觀察到露點與氣溫這兩個因素的相關性時發現皮爾森系數高達0.862且P值小于0.01，說明露點與氣溫呈強相關。但因與每日新增陽性人數相關的因素已經有了氣溫這一因素，且其相關性高于露點，所以我們決定舍棄露點這一因素，直接得出結論：溫度、濕度對每日新增陽性人數影響最大。

參考文獻

[1]王玉龍.“J”型與“S”型曲線的數學推導及相關概念論證[J].生物學教學,2021,46(06):76-79.

[2]胡曉冬,董辰輝.MATLAB從入門到精通[M].北京:人民郵電出版社,2018

[3]Tianxiang Yue, Bin Fan, Yapeng Zhao, John P. Wilson, Zhengping Du, Qing Wang, Xiaozhe Yin, Xiaonan Duan, Na Zhao, Zemeng Fan, Hui Lin, Chenghu Zhou. Dynamics of the COVID-19 basic reproduction numbers in different countries[D]. Science Bulletin, 2021, 66(03):229-232.

[4]Roberts, G. H. L. et al. AncestryDNA COVID-19 host genetic study identifies three novel loci. Preprint at doi.org/10.1101/202… (2020).

[5]華經產業研究院.2010-2020年英國人口數量及人口性別、年齡、城鄉結構分析[R].華經情報網,2021
作者：yhlhhhh
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